Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

О подобии произвольных фигур

Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Фигуры F и F₁ называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F₁ так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М₁ и N₁ фигуры F₁ выполняется равенство где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F₁ оказывается сопоставленной какой- то точке фигуры F. Число к называется коэффициентом подобия фигур F и F₁.

Сопоставление точек подобных фигур хорошо знакомо нам из повседневного опыта. Так, при проектировании киноленты на экран каждой точке изображения на кинокадре сопоставляется точка на экране, причём все расстояния увеличиваются в одинаковое число раз.

На рисунке 201 представлен способ построения фигуры F₁, подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М₁ плоскости так, что точки М и М₁ лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причём ОМ = k • ОМ₁ (на рисунке 201

В результате такого сопоставления получается фигура F₁, подобная фигуре F. В этом случае фигуры F и F₁ называются центрально-подобными, а само описанное сопоставление называется центральным подобием или гомотетией.

Можно доказать, что для треугольников общее определение подобия равносильно определению, данному в п. 59.

Примерами подобных четырёхугольников являются любые два квадрата (рис. 202, а), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 202, б). Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах, а также фотографии одного и того же предмета, сделанные в разных увеличениях.

Замечание

В п. 60 мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Из этого следует, что такое же утверждение справедливо для двух подобных многоугольников (чтобы доказать это, можно разбить многоугольник на треугольники).